Matrix-Rechner

Der Matrixrechner ist ein kostenloses Online-Tool, das Matrixaddition, -multiplikation, Determinante, Inverse, Transponierte, rref, Rang und Potenz für Matrizen bis 6x6 ausführt, mit optionalen Schritt-für-Schritt-Lösungen. Er läuft vollständig in deinem Browser, ohne Installation oder Anmeldung.

Addition, Subtraktion, Multiplikation, Skalarmultiplikation, Potenz, Transponierte, Determinante, Inverse, Spur, Rang und RREF für Matrizen bis 6x6.

Ja, völlig kostenlos und ohne Registrierung. Alle Berechnungen laufen clientseitig in deinem Browser.

Ja. Aktiviere den Schritt-für-Schritt-Schalter, um die Kofaktorentwicklung für Determinanten und alle Gauß-Jordan-Zeilenoperationen für Matrixinverse zu sehen.

Absolut. Der Matrixrechner verarbeitet alles clientseitig in deinem Browser. Es werden keine Daten auf einen Server hochgeladen oder dort gespeichert. Deine Inhalte bleiben jederzeit privat auf deinem Gerät.

Ja, der Matrixrechner ist vollständig responsiv und funktioniert auf Smartphones und Tablets. Du kannst ihn auf jedem Gerät mit einem modernen Webbrowser nutzen, ohne App-Download.

Es ist kein Konto und keine Registrierung erforderlich. Öffne einfach den Matrixrechner in deinem Browser und beginne sofort mit der Nutzung. Es gibt keine Anmeldeschranken oder Nutzungsbeschränkungen.

Der Matrixrechner verwendet branchenübliche Formeln und Algorithmen, um genaue Ergebnisse zu gewährleisten. Bei wichtigen finanziellen oder medizinischen Entscheidungen solltest du jedoch stets eine qualifizierte Fachkraft hinzuziehen.

Gib einfach deine Eingabe in das vorgesehene Feld ein, passe die Einstellungen nach Wunsch an, und das Tool verarbeitet sie sofort. Anschließend kannst du das Ergebnis in die Zwischenablage kopieren oder herunterladen.

Der Matrixrechner funktioniert in allen modernen Browsern wie Chrome, Firefox, Safari, Edge und Opera. Für das beste Erlebnis verwende die neueste Version deines bevorzugten Browsers.

Die Matrixmultiplikation funktioniert nur, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix der Zeilenzahl der zweiten Matrix entspricht. Eine 2x3-Matrix kann also eine 3x4-Matrix multiplizieren, weil die inneren Dimensionen (3 und 3) übereinstimmen, und das Ergebnis ist 2x4 groß — es übernimmt die äußeren Dimensionen. Stimmen diese inneren Zahlen nicht überein, sind die Skalarprodukte zwischen Zeilen und Spalten nicht definiert, und die Operation ist nicht möglich. Das unterscheidet sich von Addition und Subtraktion, die verlangen, dass beide Matrizen exakt dieselbe Form haben. Multiplikation ist zudem nicht kommutativ: A×B und B×A liefern meist unterschiedliche Ergebnisse, und B×A muss nicht einmal gültig sein. Wenn die Dimensionen nicht zusammenpassen, sagt Ihnen dieser Rechner genau, woran es liegt, statt zu raten. Geben Sie Ihre Matrizen ein, wählen Sie A×B, und er prüft die Formen und berechnet das Produkt bis 6x6 sofort.

Eine quadratische Matrix ist singulär, wenn ihre Determinante gleich null ist, und eine singuläre Matrix hat keine Inverse — es gibt keine Matrix, mit der man sie multiplizieren könnte, um die Einheitsmatrix zu erhalten. Geometrisch betrachtet staucht eine singuläre Matrix den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammen, sodass sich die Transformation nicht rückgängig machen lässt; Information geht verloren und lässt sich nicht wiederherstellen. Nur quadratische Matrizen können überhaupt eine Inverse besitzen, und unter diesen sind genau jene invertierbar, deren Determinante ungleich null ist. Eine Determinante von null zeigt außerdem, dass die Zeilen oder Spalten der Matrix linear abhängig sind, ihr Rang also kleiner ist als ihre Größe. Dieser Rechner berechnet die Inverse per Gauß-Jordan-Elimination und bricht ab, sobald ein Nullpivot auftritt, um dann zu melden, dass die Matrix singulär ist, statt unsinnige Werte zurückzugeben. Geben Sie eine quadratische Matrix ein und wählen Sie Inverse, um die Invertierbarkeit direkt zu prüfen.

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten, und das Reduzieren der Matrix auf die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) ist der Standardweg, ihn zu bestimmen. In RREF ist jeder führende Eintrag eine 1 mit Nullen darüber und darunter, und der Rang ist einfach die Anzahl der verbleibenden Zeilen ungleich null — gleichbedeutend mit der Anzahl der Pivotpositionen. Zeilen, die sich vollständig auf null reduzieren, tragen nichts bei und signalisieren Abhängigkeit unter den ursprünglichen Zeilen. Der Rang verrät, wie viele unabhängige Gleichungen ein System wirklich hat, ob eine Menge von Vektoren den erwarteten Raum aufspannt und ob eine quadratische Matrix vollen Rang hat und damit invertierbar ist. Dieser Rechner bietet beides: Wählen Sie RREF(A), um die reduzierte Matrix zu sehen, oder rang(A), um die Zahl direkt zu erhalten, für jede Matrix bis 6x6.

Viele Matrixoperationen, insbesondere Inversen und RREF, liefern Werte, die keine ganzen Zahlen sind, und das Runden auf Dezimalzahlen führt zu kleinen Fehlern, die sich über spätere Schritte hinweg aufsummieren. Eine Dezimalzahl wie 0.3333 ist eigentlich ein abgeschnittenes Drittel, weshalb die Schreibweise 1/3 den Wert exakt hält. Dieser Rechner erkennt saubere rationale Ergebnisse mit kleinen Nennern (bis 16) und zeigt sie als echte Brüche statt als lange Dezimalzahlen an, was der Erwartung von Lehrbüchern und Hausaufgaben entspricht und den Vergleich mit einer Handrechnung erleichtert. Exakte Brüche sind besonders wertvoll, wenn Sie eine Matrix invertieren und prüfen möchten, ob A multipliziert mit ihrer Inversen wirklich die Einheitsmatrix ergibt, ohne Rundungsfehler durch Gleitkommazahlen. Ist ein Wert kein sauberer Bruch, wird auf eine Dezimalzahl zurückgegriffen. Führen Sie hier eine Inverse oder RREF aus und lesen Sie das exakte Bruchergebnis ab.

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf ihrer Hauptdiagonale — von oben links nach unten rechts. Eine Matrix mit den Diagonaleinträgen 4, 1 und 7 hat zum Beispiel eine Spur von 12. Nur quadratische Matrizen besitzen eine Spur, da nicht-quadratische Matrizen keine vollständige Hauptdiagonale haben. Obwohl es sich um eine einfache Summe handelt, trägt die Spur echte Bedeutung: Sie entspricht der Summe der Eigenwerte der Matrix, bleibt unter Ähnlichkeitstransformationen unverändert und taucht durchgängig in Statistik, Physik und maschinellem Lernen auf, etwa als Gesamtvarianz in einer Kovarianzmatrix. Sie eignet sich zudem als schneller Plausibilitätscheck, da die Spur beim Transponieren einer Matrix unverändert bleibt. Dieser Rechner berechnet die Spur jeder quadratischen Matrix bis 6x6 mit einem Klick — geben Sie Ihre Matrix ein, wählen Sie tr(A), und lesen Sie die Diagonalsumme sofort ab.