Löser für quadratische Gleichungen

Delta = b^2 - 4ac. Delta > 0: zwei reelle Lösungen; Delta = 0: eine doppelte reelle Lösung; Delta < 0: ein komplex konjugiertes Paar.

Die Dezimalform ist praktisch für Folgerechnungen, aber die vereinfachte Wurzelform ((3 + sqrt(5))/2) ist exakt und wird im Algebraunterricht oft verlangt.

Der Scheitelpunkt (-b/2a, c - b^2/4a) ist bernsteinfarben markiert; reelle Lösungen grün; der y-Achsenabschnitt rot, alle wichtigen Merkmale auf einen Blick.

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Der Solver für quadratische Gleichungen verwendet branchenübliche Formeln und Algorithmen, um genaue Ergebnisse zu gewährleisten. Bei wichtigen finanziellen oder medizinischen Entscheidungen solltest du jedoch stets eine qualifizierte Fachkraft hinzuziehen.

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Schreibe die Gleichung zunächst in Standardform, ax^2 + bx + c = 0, und bestimme dann die drei Koeffizienten a, b und c, wobei a nicht null sein darf. Setze diese in die Mitternachtsformel ein, x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). Berechne zuerst die Diskriminante b^2 - 4ac unter der Wurzel, ziehe die Wurzel daraus, und werte dann die Plus- und Minus-Fälle getrennt aus, um beide Lösungen zu erhalten. Am schwierigsten ist es dabei, Vorzeichen und Rechenschritte korrekt zu halten, besonders bei negativen Koeffizienten. Dieser Löser bildet genau diese Schritte im Tab „Schritte“ nach: Er notiert die Gleichung, listet a, b und c auf, berechnet die Diskriminante, setzt sie in die Formel ein und vereinfacht das Ergebnis. Gib oben deine Koeffizienten ein, um die vollständige Einsetzung zu sehen und deinen eigenen Rechenweg Schritt für Schritt zu überprüfen.

Ja. Ist die Diskriminante b^2 - 4ac negativ, hat die Gleichung keine reellen Lösungen, da du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsstest, die im Bereich der reellen Zahlen nicht existiert. Geometrisch bedeutet das, dass die Parabel die x-Achse nie schneidet, es also keine x-Achsenabschnitte gibt. Das ist relevant bei Textaufgaben, die nur reelle Antworten zulassen, etwa bei einer Länge oder einer Zeitangabe, wo eine negative Diskriminante anzeigt, dass die Situation unmöglich ist. Die Gleichung besitzt trotzdem zwei Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen, geschrieben als konjugiertes Paar p +/- qi. Dieser Löser erkennt alle drei Fälle automatisch und zeigt bei negativer Diskriminante die komplexen Lösungen in der Form p +/- qi an, statt einfach nur zu scheitern. Gib oben deine Koeffizienten ein, und das Tool zeigt dir sofort die Diskriminante und die genaue Art der Lösungen an.

Alle drei Formen beschreiben dieselbe Parabel, heben aber unterschiedliche Eigenschaften hervor. Die Standardform, ax^2 + bx + c, macht den y-Achsenabschnitt sofort erkennbar. Die Faktorform, a(x - r1)(x - r2), legt die Lösungen direkt offen, da jeder Faktor an einer Lösung null wird — sie existiert daher nur sauber, wenn die Gleichung reelle Lösungen hat. Die Scheitelpunktform, a(x - h)^2 + k, zeigt den Scheitelpunkt (h, k), also den Wendepunkt und die Symmetrieachse, und eignet sich ideal zum Zeichnen sowie zum Bestimmen von Maximum oder Minimum. Die Umformung von Hand erfordert quadratische Ergänzung oder Faktorisieren — beides fehleranfällig. Dieser Löser schreibt deine Gleichung automatisch in Faktor- und Scheitelpunktform um und kennzeichnet, wenn eine Gleichung über den reellen Zahlen nicht faktorisierbar ist. Gib oben a, b und c ein, um alle drei Darstellungsformen nebeneinander zu sehen.

Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel, und seine x-Koordinate ergibt sich stets aus h = -b / (2a). Setze diesen Wert wieder in die Gleichung ein, um die y-Koordinate k zu erhalten — zusammen ergibt das den Scheitelpunkt (h, k). Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x = h, die durch den Scheitelpunkt verläuft und die Kurve spiegelt, sodass die beiden Lösungen, sofern sie reell sind, in gleichem Abstand auf beiden Seiten liegen. Ob der Scheitelpunkt ein Minimum oder ein Maximum ist, hängt vom Vorzeichen von a ab: Ein positives a öffnet die Parabel nach oben zu einem Minimum, ein negatives a öffnet sie nach unten zu einem Maximum. Dieser Löser berechnet für dich Scheitelpunkt, Symmetrieachse, Öffnungsrichtung, Definitions- und Wertebereich und markiert den Scheitelpunkt in seiner Grafik in Bernstein. Gib oben deine Koeffizienten ein, um alle Eigenschaften der Parabel auf einen Blick zu erhalten.